On the Diophantine Equation 12^x-p^y=z^2 where p is Prime

Abstract

ในช่วงทศวรรษที่ผ่านมา การศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์ได้รับความสนใจอย่างกว้างขวางจากนักคณิตศาสตร์และนักวิจัย สมการรูปแบบหนึ่งที่ได้รับความสนใจศึกษากันเป็นอย่างมาก คือ สมการไดโอแฟนไทน์ที่อยู่ในรูป เมื่อ a,b เป็นจำนวนเต็มบวก และ x,y,z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ หรือกรณีที่ a,b,x,y,z สอดคล้องกับเงื่อนไขเพิ่มเติมบางประการ ต่อมาในระยะหลังความสนใจของผู้วิจัยได้เริ่มหันไปศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์อีกรูปแบบหนึ่ง ก็คือ โดยที่ a,b,x,y,z มีสมบัติบางประการ ในงานวิจัยนี้สนใจศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์ เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะ โดยในการศึกษานี้อาศัยความรู้ทางทฤษฎีจำนวน จำนวนเฉพาะ สมภาค และแบ่งการพิจารณาเป็น 3 กรณี ได้แก่ กรณี x=0 กรณี y=0 และกรณี ผลจากการศึกษาพบว่า กรณี x=0 หรือ y=0 สมการนี้มีผลเฉลย คือ (x,y,z)=(0,0,0) ส่วนกรณี พบว่า สมการนี้มีผลเฉลย (x,y,z,p) ที่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทั้งหมด 13 ผลเฉลยด้วยกัน